董祐诚
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董祐诚(1791—1823年),字方立,江苏常州人。少时家道中衰,生活困窘。嘉庆二十二年(1817 年)随兄客居北京前,曾广游天下,兴趣及至经史、地理学及数学等方面。居北京后,专攻数学,且著作不少,有《割圆连比例图解》3卷、《椭圆求周术》1卷、《斜弧三边求角补术》1卷、《堆垛求积术》1卷。去世后,其兄董基诚汇其遗稿,以《董方立遗书》之名刊刻出版。
董祐诚少年时于梅瑴成《赤水遗珍》书中读到杜氏三术,但惜其语焉不详。后由友人处抄得载有杜氏三术和明安图六术的所谓“杜氏九术全本”,乃深入探究,务求“立法之原”,乃成《割圆连比例图解》3卷这一董氏之代表作。他从成连比例的几何线段入手,研究全弧通弦和分弧通弦二者的关系,结果也发现全弧正矢和分弧正矢之间关系,并明确给出4个幂级数展开式,即所谓“立法之原”四术,可推出所谓“杜氏九术”。
董祐诚《割圆连比例图解》著成后,方得见明安图遗书抄本,由是始知两人方法相同而具体步骤有异。董氏还在研究中发现,分割次数无限增多,则弧与弧可相互转化。他把这种现象称为“方圆互通”。他的见解相当于微积分。[1] 项名达在《象数一原》中推广了明安图和董祐诚(1791~1823)的椭圆求周术的结果。董祐诚同明安图
一样,也用连比例的方法讨论了全弧与分弧所对的弦的关系以及全弧和分弧的中矢(即该弧所张的弓形的高),得到四个幂级数公式。之后项名达进一步归纳为下列两个公式:设сn和сm分别为圆内某弧с的n倍和m倍弧长,vn和vm分别为相应的中矢,r为圆半径,则有如图所示的公式。